Γεννημένος στις 13 Ιανουαρίου 1966, αγωνίστηκε σε Ηλιούπολη και Χαραυγιακό πριν πάρει μεταγραφή για την ΑΕΚ, τον Δεκέμβριο του 1988. Στην ΑΕΚ ήρθε ως επιτελικός μέσος, αλλά τελικά αποτέλεσε “πολυθεσίτη” ποδοσφαιριστή που αγωνιζόταν σε όλες τις θέσεις του κέντρου (κυρίως ως αμυντικός χαφ), στα πλάγια της άμυνας, αλλά ακόμα και ως λίμπερο κατά περιόδους. Παίκτης με καλή τεχνική και μεταβίβαση, με ικανότητα να “κολλάει” την μπάλα στα πόδια και να την κουβαλάει πολλά μέτρα μέσα στο γήπεδο, αλλά και με ανασταλτικές ικανότητες, ήταν ένας πολύ χρήσιμος ποδοσφαιριστής για τον προπονητή της ομάδας Ντούσαν Μπάγεβιτς, συχνότατα σε ρόλο “12ου παίκτη” στο ρόστερ της ομάδας. Αγωνιστικό του μειονέκτημα από την άλλη, η έλλειψη ταχύτητας.
Αγωνίστηκε με την “Ένωση” σε 112 αγώνες πρωταθλήματος πετυχαίνοντας κι 9 γκολ (ανάμεσα στα οποία κι ένα στο ντέρμπυ ΑΕΚ-ΟΣΦΠ 2-2 για την περίοδο 1994/1995). Μεγάλο του ματς το ΑΕΚ-Αιντχόβεν 1-0 για το κύπελλο πρωταθλητριών της περιόδου 1992/1993, σε ρόλο λίμπερο. Πολύ καλή απόδοση είχε και στο ιστορικό 0-1 επί του ΟΣΦΠ στο ΟΑΚΑ το 1989 (ματς που έδωσε

 το πρωτάθλημα στην “Ένωση”). Ο Σταύρος Σταματής βρέθηκε σε πολύ καλές εποχές στην ΑΕΚ και κέρδισε μαζί της 4 πρωταθλήματα (1989,1992,1993,1994), 1 Super Cup (1989) κι 1 League Cup (1990). Επίσης αγωνίστηκε και 5 φορές με την φανέλα της εθνικής ανδρών.
Αποχώρησε τον Δεκέμβριο του 1995 και στην συνέχεια αγωνίστηκε με επιτυχία σε Ιωνικό, κι αργότερα σε Πανελευσινιακό και Ατρόμητο. Μετά το τέλος της καριέρας του διατηρεί δική του επιχείρηση (καφετέρια) στην Αθήνα. Για την περίοδο 2012/2013 ο γιος του Σταύρου Σταματή, Ανδρέας, αγωνίστηκε στην ΑΕΚ και μάλιστα οι δυό τους αποτελούν το μοναδικό μέχρι σήμερα “ζευγάρι” πατέρα-γιού που έχουν σκοράρει αμφότεροι με τα χρώματα της ΑΕΚ.